Обычного здорового правильно питающегося котенка купать вообще смысла нет - кошки, как бы это сказать... самоочищающаяся система
Купают разве что сильно испачкавшихся, интенсивно линяющих или выставочных (собственно, перед выставками) кошек. Даже противоблошиные шампуни малоэффективны, а потому подвергать кошку лишнему стрессу ни к чему.
Прививки начинают делать с 8-10 недель, предварительно проглистогонив. Прививают первый раз дважды от кошачьи заболеваний (в 8-10 недель и в 12 недель), однократно - от бешенства (не ранее 3 месяцев), а затем ежегодно.
От блох, клещей и глистов надо проводить профилактику раз в 3 месяца (зимой можно реже). Я для этого обычно использую капли на холку "Празицид-комплекс" - сразу от всего помогает. И заодно все двуногое семейство противоглистные препараты принимает - а то ведь мы со своими питомцами всей этой гадостью обмениваемся.
На тему кастрации вопрос дискутабельный, ветеринары сами до конца с ответом не определились. Обычно рекомендуют ждать до начала полового созревания, а потом уже кастрировать. Впрочем, опыт с ранней кастрацией тоже вполне успешный у многих, так что... все будет зависеть от мнения по этому поводу того ветеринара, к которому Вы по данному вопросу решите обратиться.